Родился 18 марта 1951 г. в с. Васильки Ковельского района Волынской области. В 1974 г. окончил Харьковский государственный университет им. А. Горького по специальности «преподаватель географии». В 1998 г. окончил Харьковскую национальную юридическую академию им. Я.Мудрого по специальности «юрист».
1974 г. - учитель в Острожской школе-интернате (Ровенская обл.). 1975-1990 гг - учитель географии в СОШ № № 7, 9, 11 Ковеля. Полгода, с января по июнь 1982 г. Борис Климчук работал инженером на заводе «Ковельсельмаш».
В 1990-1992 гг Борис Климчук работал заместителем председателя Ковельского горисполкома.
1992-1995 гг - председатель Волынского обласного совета.
1995-2002 гг - председатель Волынской облгосадминистрации.
2002-2004 гг - советник Президента Украины.
В 2004-2008 гг Борис Климчук занимал должность Чрезвычайного и Полномочного Посла Украины в Литве. 2008-2010 гг - Чрезвычайный и Полномочный Посол Украины в Азербайджане.
26 марта 2010 г. Борис Климчук назначен председателем Волынской ОГА.
Награжден орденом князя Ярослава Мудрого V степени, полный кавалер ордена «За заслуги».