Анатолий Близнюк родился 24 ноября 1948 г. в Краматорске Донецкой обл.
Закончил Краматорский индустриальный институт и Донецкий государственный университет экономики и торговли. По специальности инженер-механик, экономист. Кандидат наук по государственному управлению.
А.Близнюк работал помощником машиниста турбины, газовщиком, мастером, старшим мастером и первым заместителем директора Краматорского металлургического завода. Был заместителем и первым заместителем председателя Краматорского горисполкома.
1997-2002 гг. - заместитель и первый заместитель председателя Донецкой облгосадминистрации.
2002-2005 гг. - председатель Донецкой облгосадминистрации.
Был заместителем председателя Донецкого облсовета и председателем Донецкого облсовета.
Указом Президента от 18 марта 2010 г. А.Близнюк назначен председателем Донецкой областной государственной администрации.