Народився 18 березня 1951 р. в с. Волошки Ковельського району Волинської області. В 1974 р. закінчив Харківський державний університет ім. О. Горького за фахом «викладач географії». В 1998 р. закінчив Харківську національну юридичну академію ім. Я.Мудрого за фахом «юрист».
1974 р. - вчитель в Острозькій школі-інтернаті (Рівненська обл.). 1975-1990 рр - вчитель географії в ЗОШ №№ 7, 9, 11 Ковеля. Півроку, зі січня по червень 1982 р. Борис Клімчук працював інженером на заводі «Ковельсільмаш».
В 1990-1992 рр Борис Клімчук працював заступником голови Ковельського міськвиконкому.
1992-1995 рр - голова Волинської обласної ради.
1995-2002 рр - голова Волинської облдержадміністрації.
2002-2004 рр - радник Президента України.
В 2004-2008 рр Борис Клімчук обіймав посаду Надзвичайного і Повноважного Посла України в Литві. 2008-2010 рр - Надзвичайний і Повноважний Посол України в Азербайджані.
26 березня 2010 р. Борис Клімчук призначений головою Волинської ОДА.
Нагороджений орденом князя Ярослава Мудрого V ступеня, повний кавалер ордена «За заслуги».