Анатолій Близнюк народився 24 листопада 1948 р. в Краматорську Донецької обл.
Закінчив Краматорський індустріальний інститут і Донецький державний університет економіки і торгівлі. За фахом інженер-механік, економіст. Кандидат наук з державного управління.
А.Близнюк працював помічником машиніста турбіни, газівником, майстром, старшим майстром і першим заступником директора Краматорського металургійного заводу. Був заступником і першим заступником голови Краматорського міськвиконкому.
1997-2002 рр. - заступник і перший заступник голови Донецької облдержадміністрації.
2002-2005 рр. - голова Донецької облдержадміністрації.
Був заступником голови Донецької облради і головою Донецької облради.
Указом Президента від 18 березня 2010 р. А.Близнюк призначений головою Донецької обласної державної адміністрації.